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(理)如图,在矩形ABCD中,,BC=3,沿对角线BD将△BCD折起,使点C移到...

(理)如图,在矩形ABCD中,manfen5.com 满分网,BC=3,沿对角线BD将△BCD折起,使点C移到点C',且C'在平面ABD的射影O恰好在AB上.
(1)求证:BC'⊥面ADC';
(2)求二面角A-BC'-D的大小;
(3)求直线AB和平面BC'D所成的角.

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(1)由DA⊂平面ABD,AB是BC‘在平面ABD内的射影,DA⊥AB,知DA⊥BC’,BC‘⊥DC’,由此可证BC‘⊥平面ADC’. (2)由BC'⊥平面ADC',知∠DC'A是二面角A-BC'-D的平面角,由BC‘⊥平面ABC’,DA⊥BC‘,DA⊥AB,知DA⊥面ABC',DA⊥AC’,由此能求出二面角A-BC'-D的大小. (3)作AM⊥DC'于M,连接BM,由BC‘⊥面ADC’,知面ADC‘⊥面BDC’,由AM⊥DC‘,知AM⊥面BC'D,故∠ABM是AB与平面BC'D所成的角,由此能求出AB与平面BC'D所成的角的大小. (理)(1)∵DA⊂平面ABD, AB是BC‘在平面ABD内的射影, DA⊥AB, ∴DA⊥BC’,BC‘⊥DC’, ∴BC‘⊥平面ADC’.…(4分) (2)∵BC'⊥平面ADC', ∴, ∴∠DC'A是二面角A-BC'-D的平面角…(6分) ∵BC‘⊥平面ABC’, ∴DA⊥BC‘,DA⊥AB, ∴DA⊥面ABC', ∴DA⊥AC’.…(7分) 在Rt△AC'D中,sin∠DC'A=. 所以,二面角A-BC'-D的大小为arcsin.…(8分) (3)作AM⊥DC'于M,连接BM, ∵BC‘⊥面ADC’, ∴面ADC‘⊥面BDC’, ∵AM⊥DC‘, ∴AM⊥面BC'D, ∴∠ABM是AB与平面BC'D所成的角,…(10分) 在Rt△DAC'中,AM•DC'=AD•AC', ∴AM=,…(11分) 在Rt△ABM中sin∠ABM=, 所以,AB与平面BC'D所成的角为arcsin.…(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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