Question

（文）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到点C'，且C'在平面ABD的射影O恰好在AB上，则以C'，A，B，D为顶点，构成一个四面体．
（1）求证：BC'⊥面ADC'；
（2）求二面角A-BC'-D的正弦值；
（3）求直线AB和平面BC'D所成的角的正弦值．

Answer

（1）利用三垂线定理证明DA⊥BC′，然后证明BC′⊥面ADC′；
（2）通过BC′⊥平面ADC′，说明∠DC′A是二面角A-BC′-D的平面角，通过△AC′D，求二面角A-BC′-D的正弦值；
（3）作AM⊥DC′于M，连接BM，证明AM⊥平面BC′D，得到∠ABM是AB与平面BC′D所成的角，然后求直线AB和平面BC'D所成的角的正弦值．
【解析】
（1）

…（4分）
（2）BC′⊥平面ADC′，C′D⊂平面ADC′，C′A⊂平面ADC′，
所以BC′⊥C′D，BC′⊥C′A，
所以∠DC′A是二面角A-BC′-D的平面角，…（6分）
而…（7分）
在．…（8分）
（3）作AM⊥DC′于M，连接BM，
BC′⊥C′A，AM∩AC′=A，∴BC′⊥平面ADC′
BC′⊂平面SDC′，∴平面ADC′⊥平面BDC′，
又AM⊥DC′，DC′=平面ADC′∩平面BDC′，
所以AM⊥平面BC′D，
所以∠ABM是AB与平面BC′D所成的角…（10分）
在…（12分）
在（13分）