Question

（理）已知复数，其中A，B，C是△ABC的内角，若．
（1）求证：；
（2）当∠C最大时，存在动点M，使|MA|，|AB|，|MB|成等差数列，求的最大值．

Answer

（1）由复数，可求得4cos（A-B）=5cos（A+B），展开整理即可；
（2）设|AB|=2a，由题意可求得：|MA|+|MB|=2|AB|=4a，故M在以A，B为焦点的椭圆上，该椭圆长半轴为2a，半焦距为a，短半轴为，从而建立坐标系，设出椭圆的方程，设M（x，y），利用配方法可求的最大值．
证明：（1）∵…（2分）
∴，
整理可得：4cos（A-B）=5cos（A+B），即4cosAcosB+4sinAsinB=5cosAcosB-5sinAsinB，
∴9sinA•sinB=cosA•cosB，
∴…（5分）
（2），
当且仅当 …（8分）
设|AB|=2a，
∵|MA|+|MB|=2|AB|=4a，
∴M在以A，B为焦点的椭圆上，椭圆长半轴为2a，半焦距为a，短半轴为，…（10分）
以直线AB为x轴，AB中点为原点，建立坐标系，
设椭圆方程为则=
所以，当…（13分）