Question

如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，AB=2，BC=1，设AE与平面ABC所成的角为θ，且tanθ=，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC．
（1）求三棱锥C-ABE的体积；
（2）证明：平面ACD⊥平面ADE；
（3）在CD上是否存在一点M，使得MO∥平面ADE？证明你的结论．

Answer

（1）求三棱锥C-ABE的体积，转化为求E-ABC的体积，求出底面面积，即可解答本题．
（2）要证明：平面ACD⊥平面ADE，只需证明DE⊥平面ADC，先证DE垂直AC和DC即可．
（3）点M为DC的中点，使得MO∥平面ADE，取BE的中点N，连MO、MN、NO，证明平面MNO∥平面ADE，即可．
【解析】
（1）∵四边形DCBE为平行四边形∴CD∥BE
∵DC⊥平面ABC∴BE⊥平面ABC
∴∠EAB为AE与平面ABC所成的角，
即∠EAB=θ
在Rt△ABE中，由tanθ=，
AB=2得BE=
∵AB是圆O的直径∴BC⊥AC
∴AC=
∴
∴=

（2）证明：∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC∴DC⊥BC．（6分）
∵BC⊥AC且DC∩AC=C∴BC⊥平面ADC、
∵DE∥BC∴DE⊥平面ADC
又∵DE⊂平面ADE∴平面ACD⊥平面ADE；

（3）在CD上存在点M，使得MO∥平面ADE，该点M为DC的中点．
证明如下：如图，取BE的中点N，连MO、MN、NO，
∵M、N、O分别为CD、BE、AB的中点，
∴．MN∥DE
∵DE⊂平面ADE，MN不在平面ADE，
∴MN∥平面ADE
同理可得NO∥平面ADE．
∵MN∩NO=N，∴平面MNO∥平面ADE．
∵MO⊂平面MNO，∴MO∥平面ADE．