Question

如图，平面VAD⊥平面ABCD，△VAD是等边三角形，ABCD是矩形，AB：AD=：1，F是AB的中点．
（1）求VC与平面ABCD所成的角；
（2）求二面角V-FC-B的度数；
（3）当V到平面ABCD的距离是3时，求B到平面VFC的距离．

Answer

（1）取AD的中点G，连接VG，CG．由△ADV为正三角形，知VG⊥AD．由平面VAD⊥平面ABCD．AD为交线，知VG⊥平面ABCD，则∠VCG为CV与平面ABCD所成的角．由此能求出VC与平面ABCD所成的角的大小．
（2）连接GF，则．而．在△GFC中，GC2=GF2+FC2．所以GF⊥FC．连接VF，由VG⊥平面ABCD知VF⊥FC，则∠VFG即为二面角V-FC-D的平面角．由此能求出二面角V-FC-B的度数．
（3）设B到平面VFC的距离为h，当V到平面ABCD的距离是3时，即VG=3．此时，，，．所以，．由VV-FCB=VB-VCF，能求出B到面VCF的距离．
【解析】
取AD的中点G，连接VG，CG．
（1）∵△ADV为正三角形，∴VG⊥AD．
又平面VAD⊥平面ABCD．AD为交线，
∴VG⊥平面ABCD，
则∠VCG为CV与平面ABCD所成的角．
设AD=a，则，．
在Rt△GDC中，．
在Rt△VGC中，．
∴∠VCG=30°．
即VC与平面ABCD成30°．
（2）连接GF，则．
而 ．
在△GFC中，GC2=GF2+FC2．
∴GF⊥FC．
连接VF，由VG⊥平面ABCD知VF⊥FC，
则∠VFG即为二面角V-FC-D的平面角．
在Rt△VFG中，．
∴∠VFG=45°．
故二面角V-FC-B的度数为135°．
（3）设B到平面VFC的距离为h，当V到平面ABCD的距离是3时，
即VG=3．
此时，，，．
∴，
．
∵VV-FCB=VB-VCF，
∴．
∴．
∴，即B到面VCF的距离为．