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如图四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=4正方形的边长为2 (1)求...

如图四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=4正方形的边长为2
(1)求点A到平面PCD的距离;
(2)求直线PA与平面PCD所成角的大小;
(3)求以PCD与PAC为半平面的二面角的正切值.

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(1)过A作AE⊥PD,由平面ABCD,知平面PAD⊥平面ABCD,由CD⊥平面PAD,知CD⊥AE,由AE为A到平面PCD的距离.由此能求出题点A到平面PCD的距离的大小. (2)由AE⊥平面PCD,知∠APD为直线PA与平面PCD所成的角,由此能求出直线PA与平面PCD所成角的大小. (3)过A作AF⊥PC,连EF,AE⊥平面PCD,由三垂线定理的逆定理知EF⊥PC,所以∠AFE为二面角A-PC-D的平面角,由此能求出以PCD与PAC为半平面的二面角的正切值. 【解析】 (1)过A作AE⊥PD, ∵平面ABCD, ∴平面PAD⊥平面ABCD, ∵, ∴CD⊥平面PAD. 又∵AE⊂平面PAD, ∴CD⊥AE, ∵平面PCD, ∴AE为A到平面PCD的距离. 在Rt△PAD中: 由, 得. (2)由(1)知AE⊥平面PCD, ∴∠APD为直线PA与平面PCD所成的角 在Rt△PAD中: . (3)过A作AF⊥PC,连EF, 由(1)知AE⊥平面PCD, 由三垂线定理的逆定理知EF⊥PC, ∴∠AFE为二面角A-PC-D的平面角, 在Rt△PAC中, 在Rt△AEF中, ∴.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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