Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E是AC中点．
（1）求证：平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁；
（2）求证：AB₁∥平面BEC₁；
（3）若，求二面角E-BC₁-C的大小．

Answer

（Ⅰ）由ABC-A1B1C1是正三棱柱，知AA1⊥平面ABC，BE⊥AA1．由△ABC是正三角形，E是AC中点，知BE⊥平面ACC1A1．由此能够证明平面BEC1⊥平面ACC1A1．
（Ⅱ）连B1C，设BC1∩B1C=D．由ABC-A1B1C1是正三棱柱，知BCC1B1是矩形，D是B1C的中点．由E是AC的中点，知AB1∥DE．由此能够证明AB1∥平面BEC1．
（Ⅲ）作CF⊥BC1于F，FG⊥BC1于G；连CG．由平面BEC1⊥平面ACC1A，知CF⊥平面BEC1，故FG是CG在平面BEC1上的射影．根据三垂线定理，知∠CGF是二面角E-BC1-C的平面角，由此能求出二面角E-BC1-C的大小．
（Ⅰ）证明：∵ABC-A1B1C1是正三棱柱，
∴AA1⊥平面ABC，
∴BE⊥AA1．
∵△ABC是正三角形，E是AC中点，
∴BE⊥AC，
∴BE⊥平面ACC1A1．
∴BE⊂平面BEC1
∴平面BEC1⊥平面ACC1A1．…（4分）
（Ⅱ）证明：连B1C，设BC1∩B1C=D．
∵ABC-A1B1C1是正三棱柱，
∴BCC1B1是矩形，D是B1C的中点．
∵E是AC的中点，
∴AB1∥DE．
∵DE⊂平面BEC1，AB1⊄平面BEC1，
∴AB1∥平面BEC1．…（8分）
（Ⅲ）【解析】
作CF⊥BC1于F，FG⊥BC1于G；连CG．
∵平面BEC1⊥平面ACC1A，
∴CF⊥平面BEC1…（9分）
∴FG是CG在平面BEC1上的射影．
根据三垂线定理得，CG⊥BC1．
∴∠CGF是二面角E-BC1-C的平面角．…（10分）
设AB=a，∵．
在Rt△ECC1中，CF=
在Rt△BCC1中，CG=．
在Rt△CFG中，∵，
∴∠CGF=45°．
∴二面角E-BC1-C的大小是45°…（12分）