Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°，D、E分别为AC、AA₁的中点．点F为
棱AB上的点．
（Ⅰ）当点F为AB的中点时．
（1）求证：EF⊥AC₁；
（2）求点B₁到平面DEF的距离．
（Ⅱ）若二面角A-DF-E的大小为的值．

Answer

（I）（1）由DF∥BC，BC⊥AC，知DF⊥AC，由平面ACC1A1⊥平面ABC，知DF⊥平面ACC1A1，由DF⊥AC1，ACC1A1是正方形，知AC1⊥DE，由此能够证明EF⊥AC1．
（2）由B1C1∥BC，BC∥DF，知B1C1∥平面DEF，故点B1到平面DEF的距离等于点C1到平面DEF的距离，所以DF⊥平面ACC1A1，平面DEF⊥平面ACC1A1．设AC1∩DE=O，则C1O就是点C1到平面DEF的距离，由此能求出点B1到平面DEF的距离．
（Ⅱ）当点F为AB的中点，即=1时，DF∥BC，故DF⊥AC，由AA1⊥面ABC，知ED⊥DF，故∠EDA即为二面角A-DF-E的平面角，由AE=AD，因此∠EDA=．故二面角A-DF-E的大小为时，=1．
【解析】
（I）（1）∵DF∥BC，BC⊥AC，
∴DF⊥AC，
∵平面ACC1A1⊥平面ABC，
∴DF⊥平面ACC1A1，
∴DF⊥AC1，
∵ACC1A1是正方形，
∴AC1⊥DE，
∴AC1⊥面DEF，
∴AC1⊥EF，即EF⊥AC1．
（2）∵B1C1∥BC，BC∥DF，
∴B1C1∥平面DEF，
∴点在B1到平面DEF的距离等于点C1到平面DEF的距离，
∴DF⊥平面ACC1A1，
∴平面DEF⊥平面ACC1A1，
∵AC1⊥DE，
∴AC1⊥平面DEF，
设AC1∩DE=O，
则C1O就是点C1到平面DEF的距离．
∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，
∴AA1C1C是边长为2的正方形，
∴，
连接A1C，交AC1于O1，
则AO1=C1O1=，
∵D是AC的中点，
∴，
∴C1O=．
（Ⅱ）当点F为AB的中点即=1时，DF∥BC，∴DF⊥AC，
∵AA1⊥面ABC，
∴ED⊥DF，∠EDA即为二面角A-DF-E的平面角，
由AE=AD，因此∠EDA=．
故二面角A-DF-E的大小为时，=1．