Question

已知函数f（x）=x+1，设g₁（x）=f（x），g_n（x）=f（g_n-1（x））（n＞1，n∈N^*）．
（I）求g₂（x）、g₃（x）的表达式，并直接写出g_n（x）（n∈N^*）表达式；
（II）设S_n（x）=g₁（x）+g₂（x）+g₃（x）+…+g_n（x），若关于x的函数y=x²+S_n（x）（n∈N^*）在区间（-∞，-1]上的最小值为6，求n的值．

Answer

（1）根据g1（x）=f（x），gn（x）=f（gn-1（x）），令n=2，3，即可求得求g2（x），g3（x）的表达式，并猜想gn（x）（n∈N*）的表达式；
（2）根据（1）的结果代入求出y=x2+Sn（x），转化为二次函数利用配方法求最值，讨论对称轴是否在定义域内．
【解析】
（I）∵g1（x）=f（x）=x+1，gn（x）=f（gn-1（x））
当n=2时，g2（x）=f（g1（x））=f（x+1）=（x+1）+1=x+2，（2分）
g3（x）=f（g2（x））=f（x+2）=（x+2）+1=x+3，
猜想gn（x）=x+n（4分）
（II）∵gn（x）=x+n，
∴Sn（x）=g1（x）+g2（x）+g3（x）+…+gn（x）=（6分）
∴y=x2+sn（x）=（8分）
1°当，即n≤2时，函数在区间（-∞，-1]上是减函数
∴当x=-1时，，即n2-n-10=0，该方程没有整数解（10分）
2°当，即n＞2时，，解得n=4，
综上所述，n=4（12分）