Question

若椭圆C₁：=1（a₁＞b₁＞0）和椭圆C₂：=1（a₂＞b₂＞0）的焦点相同且a₁＞a₂．给出如下四个结论：
①椭圆C₁和椭圆C₂一定没有公共点；           
②；
③a₁²-a₂²=b₁²-b₂²；                      
④a₁-a₂＜b₁-b₂．
其中，所有正确结论的序号是    ．

Answer

先由a12-b12=a22-b22，从而③a12-a22=b12-b22成立，下面从两个方面来看：一方面：a1＞a2，由上得b1＞b2，从而①成立；②不成立；另一方面：a12-b12=a22-b22⇒（a1+b1）（a1-b1）=（a2+b2）（a2-b2）⇒a1-b1＜a2-b2，从而④成立；从而得出正确答案．
【解析】
a12-b12=a22-b22，从而③a12-a22=b12-b22成立，
一方面：a1＞a2，由上得b1＞b2，从而①成立；
若在a12-a22=b12-b22中，a1=2，a2=，b1=，b2=1，
，，有：
故②不成立；
另一方面：a12-b12=a22-b22⇒（a1+b1）（a1-b1）=（a2+b2）（a2-b2）
由于a1+b1＞a2+b2
∴a1-b1＜a2-b2，
从而④成立；
∴所有正确结论的序号是 ①③④．
故答案为：①③④．