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如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,面AA1C1C是菱形,∠ACC1=60°,...

manfen5.com 满分网如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,面AA1C1C是菱形,∠ACC1=60°,侧面ABB1A1⊥AA1C1C,A1B=AB=AC=1.求证:
(1)AA1⊥BC1
(2)求点A1到平面ABC的距离.
(1)要证AA1⊥BC1.只需证AA1⊥面BDC1,只需证AA1垂直于面BDC1内的两条相交直线,设AA1中点为D,根据A1B=AB,可得BD⊥AA1,利用侧面ABB1A1⊥AA1C1C,可得BD⊥面AA1C1C.根据△ACC1为正三角形,AC1=C1A1,可得C1D⊥AA1,从而得证; (2)由(1),有BD⊥C1D,BC1⊥CC1,CC1⊥面C1DB,设点A1到平面ABC的距离为h,利用等面积有=,从而可求点A1到平面ABC的距离. (1)证明:设AA1中点为D,连BD,CD,C1D,AC1. 因为A1B=AB,所以BD⊥AA1.--------------------------2分 因为侧面ABB1A1⊥AA1C1C,所以BD⊥面AA1C1C.----------4分 又△ACC1为正三角形,AC1=C1A1,所以C1D⊥AA1.------6分 所以AA1⊥面BDC1, 所以AA1⊥BC1.----------------------------8分 (2)【解析】 由(1),有BD⊥C1D,BC1⊥CC1,CC1⊥面C1DB 设点A1到平面ABC的距离为h,则=. 因为,CC1=1 ∴=, ∵, ∴ ∵AB=AC=1, ∴ ∴. 即点A1到平面ABC的距离为.----14分
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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