Question

在直平行六面体AC₁中，ABCD是菱形，∠DAB=60°，AC∩BD=O，AB=AA₁．
（1）求证：C₁O∥平面AB₁D₁；
（2）求证：平面AB₁D₁⊥平面ACC₁A₁；
（3）求直线AC与平面AB₁D₁所成角的正弦值．
★你能同时用好“由因导果和执果索因”的证明吗？

Answer

（1）连接A1C1交B1D1于O1，连接AO1，通过证得四边形AOC1O1为平行四边形，得出C1O∥AO1 后即可证明C1O∥面AB1D1．
（2）根据四边形A1B1C1D1为菱形，得出B1D1⊥A1C1，易证A1A⊥B1D1，所以B1D1⊥平面ACC1A1，从而证明平面AB1D1⊥平面ACC1A1．
（3）过C作CH⊥AO1交AO1于H．CH⊥平面AB1D1 ．∠CAH是AC与平面AB1D1 所成的角，在△CAH 中求解即可．
证明：（1）连接A1C1交B1D1于O1，连接AO1．
在平行四边形AA1C1C中，C1O1∥AO，，C1O1=AO，
∴四边形AOC1O1为平行四边形．∴C1O∥AO1 ．-----3分
又∵C1O⊄面AB1D1 ，AO1⊂面AB1D1 -------4分
∴C1O∥面AB1D1---------------------------------------5分
（2）在直平行六面体AC1中，A1A⊥平面A1B1C1D1
∴A1A⊥B1D1，
∵四边形A1B1C1D1为菱形，∴B1D1⊥A1C1．--------------------------------------------7分
∵A1C1∩AA1=A1，A1C1⊂平面ACC1A1，，--------------9分
∴B1D1⊥平面ACC1A1 ．
∵B1D1⊂平面AB1D1∴平面AB1D1⊥平面ACC1A1 ．-------------------------------10分
（3）过C作CH⊥AO1交AO1于H．
∵平面AB1D1⊥平面ACC1A1 ，平面AB1D1∩平面ACC1A1=AO1 ，
∴CH⊥平面AB1D1 ．∴AH为AC在平面AB1D1 上的射影．
∴∠CAH是AC与平面AB1D1 所成的角．----------------11分
设AB=2，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，
∴AC=2．-------------------------------12分
在Rt△AA1O1中，AO1=
∵AO1•CH=AC•OO1，∴CH=∴sin∠CAH==．---14分