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已知常数a为正实数,在曲线Cnmanfen5.com 满分网上一点P(xn,yn)处的切线Ln总经过定点(-a,0),(n∈N*).求证点列:P1,P2,…,Pn在同一直线上.(关键是:Pi在同一直线上有三种情况:①xi相同;②yi相同;③manfen5.com 满分网为常数)
欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在x=xn处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.写出切线方程,由Pn(a,)在曲线Cn上可得xn=a,,可证P总在直线x=a上,即P1,P2,,Pn在同一直线上,从而问题解决. (法二):由切线过点(-a,0)得切线方程为y=kn(x+a),由方程组可得kn2x2+(2akn2-n)x+kn2a2=0,由△=0可得kn2=,代入到方程中可求得xn=a,即可证 证法一:f(x)=(3分) Cn:y=上一点P(xn,yn)处的切线Ln的斜率kn=f'(xn)=Ln的方程为y-yn=(7分) ∵Ln经过点(-a,0) ∴=(a+xn) 又∵Pn在曲线Cn上, ∴= ∴xn=a, ∴总在直线x=a上(10分) 即P1,P2,…,Pn在同一直线x=a上 (14分) 证法二:设切线Ln的斜率为kn, 由切线过点(-a,0)得切线方程为y=kn(x+a)(3分) 则方程组的解为, 用代入法消去y化简得kn2x2+(2akn2-n)x+kn2a2=0(*);(7分) 有△=(2akn2-n)2-4kn2•kn2a2=-4ankn2+n2=0∴kn2= 即=0(10分) ∴x=a即有xn=a,yn= 即P1,P2,…,Pn在同一直线x=a上  (14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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