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已知在△ABC中,点A、B的坐标分别为(-2,0)和(2,0),点C在x轴上方....

已知在△ABC中,点A、B的坐标分别为(-2,0)和(2,0),点C在x轴上方.
(Ⅰ)若点C的坐标为(2,3),求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程;
(Ⅱ)若∠ACB=45°,求△ABC的外接圆的方程;
(Ⅲ)若在给定直线y=x+t上任取一点P,从点P向(Ⅱ)中圆引一条切线,切点为Q.问是否存在一个定点M,恒有PM=PQ?请说明理由.
(Ⅰ)根据椭圆的定义和AC,BC求得椭圆的长轴,进而根据c求得b,则椭圆的方程可得. (Ⅱ)先用正弦定理可知=2R,进而求得R,设出圆心坐标,根据勾股定理求的s,则外接圆的方程可得. (Ⅲ)假设存在这样的点M(m,n),设点P的坐标,进而根据PM=PQ,求得关于x的方程,进而列出方程组,消去m,得到关于n的一元二次方程,分别讨论当判别式大于0或小于等于0时的情况. 【解析】 (Ⅰ)因为AC=5,BC=3,所以椭圆的长轴长2a=AC+BC=8, 又c=2,所以b=2,故所求椭圆的方程为 (Ⅱ)因为=2R,所以2R=4,即R=2 又圆心在AB的垂直平分线上,故可设圆心为(0,s)(s>0), 则由4+S2=8,所以△ABC的外接圆的方程为x2+(y-2)2=8 (Ⅲ)假设存在这样的点M(m,n),设点P的坐标为(x,x+t),因为恒有PM=PQ,所以(x-m)2+(x+t-n)2=x2+(x+t-2)2-8, 即(2m+2n-4)x-(m2+n2-2nt+4t+4)=0,对x∈R,恒成立, 从而,消去m,得n2-(t+2)n+(2t+4)=0 因为方程判别式△=t2-4t-12,所以 ①当-2<t<6,时,因为方程无实数解,所以不存在这样的点M ②当t≥6或t≤-2时,因为方程有实数解,且此时直线y=x+t与圆相离或相切,故此时这样的点M存在.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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