满分5 > 高中数学试题 >

设函数f(x)=x2,g(x)=alnx+bx(a>0). (Ⅰ)若f(1)=g...

设函数f(x)=x2,g(x)=alnx+bx(a>0).
(Ⅰ)若f(1)=g(1),f'(1)=g'(1),求F(x)=f(x)-g(x)的极小值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,是否存在实常数k和m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m?若存在,求出k和m的值.若不存在,说明理由.
(Ⅲ)设G(x)=f(x)+2-g(x)有两个零点x1,x2,且x1,x,x2成等差数列,试探究G'(x)值的符号.
(1)由f(1)=g(1),f′(1)=g′(1)得到a与b的值,因为F(x)=f(x)-g(x)求出导函数讨论在区间上的增减性得到函数的极值即可; (2)因f(x)与g(x)有一个公共点(1,1),而函数f(x)=x2在点(1,1)的切线方程为y=2x-1, 下面验证都成立即可.由x2-2x+1≥0,得x2≥2x-1,知f(x)≥2x-1恒成立.设h(x)=lnx+x-(2x-1),即h(x)=lnx-x+1,易知其在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,所以h(x)=lnx+x-(2x-1)的最大值为h(1)=0,所以lnx+x≤2x-1恒成立.故存在; (3)因为G(x)=f(x)+2-g(x)有两个零点x1,x2,把两个零点代入到G(x)中,得一式子,然后求出导函数讨论两个零点的大小得到G'(x)值的符号为正. 【解析】 (1)由f(1)=g(1),f′(1)=g′(1)得,解得a=b=1则F(x)=f(x)-g(x)=x2-lnx-x,F′(x)=2x--1 x=1或x=,当x<-或x>1时,f′(x)>0,函数为增函数;当<x<1时,f′(x)<0,函数为减函数. 得到F(x)极小值=F(1)=0; (2)因f(x)与g(x)有一个公共点(1,1),而函数f(x)=x2在点(1,1)的切线方程为y=2x-1, 下面验证都成立即可.由x2-2x+1≥0,得x2≥2x-1,知f(x)≥2x-1恒成立.设h(x)=lnx+x-(2x-1),即h(x)=lnx-x+1,易知其在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,所以h(x)=lnx+x-(2x-1)的最大值为h(1)=0,所以lnx+x≤2x-1恒成立.故存在这样的k和m,且k=2,m=-1. (3)G′(x)的符号为正,理由为:因为G(x)=x2+2-alnx-bx有两个零点x1,x2,则有,两式相减得x22-x12-a(lnx2-lnx1)-b(x2-x1)=0,即, 于是G′(x)=2x--b=(x1+x2-b)-=-= = ①当0<x1<x2时,令=t,则t>1,且u′(t)==>0,则u(t)=lnt-在(1,+∞)上为增函数, 而u(1)=0,所以u(t)>0,即lnt->0,又因为a>0,x2-x1>0 所以G′(x)>0; ②当0<x2<x1时,同理可得:G′(x)>0 综上所述:G′(x)的符号为正.
复制答案
考点分析:
相关试题推荐
已知椭圆C:manfen5.com 满分网的离心率为manfen5.com 满分网,过坐标原点O且斜率为manfen5.com 满分网的直线l与C相交于A,B,|AB|=manfen5.com 满分网
(1)求a,b的值;
(2)若动圆(x-m)2+y2=1与椭圆C和直线l都没有公共点,试求m的取值范围.
查看答案
已知在△ABC中,点A、B的坐标分别为(-2,0)和(2,0),点C在x轴上方.
(Ⅰ)若点C的坐标为(2,3),求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程;
(Ⅱ)若∠ACB=45°,求△ABC的外接圆的方程;
(Ⅲ)若在给定直线y=x+t上任取一点P,从点P向(Ⅱ)中圆引一条切线,切点为Q.问是否存在一个定点M,恒有PM=PQ?请说明理由.
查看答案
设不等式组 manfen5.com 满分网表示的平面区域为D.区域D内的动点P到直线x+y=0和直线x-y=0的距离之积为2.记点P的轨迹为曲线C.过点manfen5.com 满分网的直线l与曲线C交于A、B两点.若以线段AB为直径的圆与y轴相切,求直线l的斜率.
查看答案
已知常数a为正实数,在曲线Cnmanfen5.com 满分网上一点P(xn,yn)处的切线Ln总经过定点(-a,0),(n∈N*).求证点列:P1,P2,…,Pn在同一直线上.(关键是:Pi在同一直线上有三种情况:①xi相同;②yi相同;③manfen5.com 满分网为常数)
查看答案
在直平行六面体AC1中,ABCD是菱形,∠DAB=60°,AC∩BD=O,AB=AA1
(1)求证:C1O∥平面AB1D1
(2)求证:平面AB1D1⊥平面ACC1A1
(3)求直线AC与平面AB1D1所成角的正弦值.
★你能同时用好“由因导果和执果索因”的证明吗?

manfen5.com 满分网 查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.