Question

设函数f（x）=x²，g（x）=alnx+bx（a＞0）．
（Ⅰ）若f（1）=g（1），f'（1）=g'（1），求F（x）=f（x）-g（x）的极小值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实常数k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m？若存在，求出k和m的值．若不存在，说明理由．
（Ⅲ）设G（x）=f（x）+2-g（x）有两个零点x₁，x₂，且x₁，x，x₂成等差数列，试探究G'（x）值的符号．

Answer

（1）由f（1）=g（1），f′（1）=g′（1）得到a与b的值，因为F（x）=f（x）-g（x）求出导函数讨论在区间上的增减性得到函数的极值即可；
（2）因f（x）与g（x）有一个公共点（1，1），而函数f（x）=x2在点（1，1）的切线方程为y=2x-1，
下面验证都成立即可．由x2-2x+1≥0，得x2≥2x-1，知f（x）≥2x-1恒成立．设h（x）=lnx+x-（2x-1），即h（x）=lnx-x+1，易知其在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，所以h（x）=lnx+x-（2x-1）的最大值为h（1）=0，所以lnx+x≤2x-1恒成立．故存在；
（3）因为G（x）=f（x）+2-g（x）有两个零点x1，x2，把两个零点代入到G（x）中，得一式子，然后求出导函数讨论两个零点的大小得到G'（x）值的符号为正．
【解析】
（1）由f（1）=g（1），f′（1）=g′（1）得，解得a=b=1则F（x）=f（x）-g（x）=x2-lnx-x，F′（x）=2x--1
x=1或x=，当x＜-或x＞1时，f′（x）＞0，函数为增函数；当＜x＜1时，f′（x）＜0，函数为减函数．
得到F（x）极小值=F（1）=0；
（2）因f（x）与g（x）有一个公共点（1，1），而函数f（x）=x2在点（1，1）的切线方程为y=2x-1，
下面验证都成立即可．由x2-2x+1≥0，得x2≥2x-1，知f（x）≥2x-1恒成立．设h（x）=lnx+x-（2x-1），即h（x）=lnx-x+1，易知其在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，所以h（x）=lnx+x-（2x-1）的最大值为h（1）=0，所以lnx+x≤2x-1恒成立．故存在这样的k和m，且k=2，m=-1．
（3）G′（x）的符号为正，理由为：因为G（x）=x2+2-alnx-bx有两个零点x1，x2，则有，两式相减得x22-x12-a（lnx2-lnx1）-b（x2-x1）=0，即，
于是G′（x）=2x--b=（x1+x2-b）-=-=
=
①当0＜x1＜x2时，令=t，则t＞1，且u′（t）==＞0，则u（t）=lnt-在（1，+∞）上为增函数，
而u（1）=0，所以u（t）＞0，即lnt-＞0，又因为a＞0，x2-x1＞0
所以G′（x）＞0；
②当0＜x2＜x1时，同理可得：G′（x）＞0
综上所述：G′（x）的符号为正．