Question

已知x+c．
（1）如果b=0，且f（x）在x=1时取得极值，求a的值，并指出这个极值是极大值还是极小值，说明理由；
（2）当a=-1时，如果函数y=f（x）的图象上有三个不同点处的切线与直线x+2y+3=0垂直，求b的取值范围．

Answer

（1）先求导数f'（x）=x3+x2+ax，根据x=1是f（x）的极值点，求出a值，从而得出f'（x）=x3+x2-2x=x（x2-x-2=x（x-1）（x+2），再讨论当0＜x＜1时，f'（x）＜0，当x＞1时，f'（x）＞0，从而得出结论．
（2）当a=-1时，f'（x）=x3+x2-x+b，直线x+2y+3=0的斜率为，依题意，方程x3+x2-x+b=2有三个不等的实根．设g（x）=x3+x2-x+b-2，利用导数求得g（x）极值，由函数的图象与直线有三个不同的交点，寻求函数的极值点，得到极值，通过比较函数的极值与参数b之间的关系即可得到答案．
【解析】
（1）由题意x+c，b=0，
∴f'（x）=x3+x2+ax，
∵x=1是f（x）的极值点，
∴f'（1）=a+2=0，a=-2．
此时，f'（x）=x3+x2-2x=x（x2-x-2）=x（x-1）（x+2）
所以0＜x＜1时，f'（x）＜0，当x＞1时，f'（x）＞0
因此f（x）在x=1处取得极小值．
（2）当a=-1时，f'（x）=x3+x2-x+b，直线x+2y+3=0的斜率为，
依题意，函数y=f（x）的图象上有三个不同点处的切线与直线x+2y+3=0垂直
∴方程x3+x2-x+b=2有三个不等的实根．
设g（x）=x3+x2-x+b-2，
由g'（x）=3x2+2x-1=（3x-1）（x+1）=0，
得x1=-1，x2=．
当x变化时，g'（x），g（x）的变化状态如下表：

x （-∞，-1） -1 （-1，） （，+∞）
g'（x） + - +
g（x） 递增 极大值 递减 极小值 递增

知，g（x）在x=-1处取得极大值，在x=处取得极小值．
极大值为g（-1）=b-1，极小值为g（）=b-，
由b-1＞0，且b-＜0，
得b的取值范围：1＜b＜．