Question

已知椭圆E：的左、右焦点分别为F₁、F₂，上、下顶点分别为B₁、B₂，四边形B₁F₁B₂F₂的一个内角等于，椭圆过点P（1，）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）直线l的斜率等于椭圆E的离心率，且交椭圆于A、B两点，直线PA和PB分别交x轴于点M、N，求证：|PM|=|PN|．

Answer

（1）由b＞，知，所以，设所求椭圆方程为，把点P（1，）代入，能求出椭圆方程．
（2），离心率，设直线l的方程为，代入椭圆方程，得x2+mx+m2-3=0，所以x1+x2=-m，x1x2=m2-3，要证|PM|=|PN|，只需证直线PA的斜率k1与直线PB的斜率k2互为相反数．
【解析】
（1）由b＞，
知，
∴，
设所求椭圆方程为，
把点P（1，）代入，得b2=3，a2=4，
∴椭圆方程为．
（2），离心率，
设直线l的方程为，
代入椭圆方程，整理得x2+mx+m2-3=0，
∴x1+x2=-m，x1x2=m2-3，
要证|PM|=|PN|，只需证直线PA的斜率k1与直线PB的斜率k2互为相反数，
k1+k2=
∵（2y1-3）（x2-1）+（2y2-3）（x1-1）
=（x1+2m-3）（x2-1）+（x2+2m-3）（x1-1）
=2x1x2+（2m-4）（x1+x2）+6-4m
=2（m2-3）+（2m-4）（-m）+6-4m=0
所以，k1+k2=0，
因此|PM|=|PN|．