Question

已知函数f（x）=x³（x＞0），点A_n（n，y_n），A_n+1（n+1，y_n+1）在函数f（x）的图象上（n∈N^*）过点A_n，A_n+1的切线分别为L_n，L_n+1，L_n与L_n+1的交点的横坐标为x_n．设，则=（ ）
A．
B．1
C．
D．

Answer

先求出其导函数，进而得到在点An，An+1的切线方程，根据函数值相等求出Ln与Ln+1的交点的横坐标xn的表达式；进而求出an的表达式，通过对其分离常数以及裂项即可求出答案．
【解析】
对y=x3（n∈N*）求导得y′=3x2，
令x=n得在点An（n，yn）处的切线的斜率k=3n2，
所以在点An（n，yn）处的切线方程为y-n3=k（x-n）=3n2（x-n）⇒y=3n2x-2n3；
同理在An+1的切线方程为：y-（n+1）3=3（n+1）2[x-（n+1）]⇒y=3（n+1）2x-2（n+1）3．
∴3n2x-2n3=3（n+1）2x-2（n+1）3⇒x=
即⇒xn-1=．
∴=•===+=+（）．
∴=
==（+×）
=．
故选：A．