Question

已知函数f（x）=ax-3，g（x）=-x^-2，如果关于x的方程f（x）=g（x）在（0，+∞）有唯一解，则实数a的取值范围是    ．

Answer

由函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），故我们可将关于x的方程f（x）=g（x）有且仅有一个正实数解，转化为方程ax3-3x2+1=0有且仅有一个正实数解，求出函数的导函数后，分类讨论函数的单调性，即可得到答案．
【解析】
由函数解析式可得：x≠0，如果关于x的方程f（x）=g（x）有且仅有一个正实数解，
由于ax-3+x-2=0⇔ax3-3x2+1=0．
即方程ax3-3x2+1=0有且仅有一个正实数解，
构造函数f（x）=ax3-3x2+1
则函数f（x）的图象与x正半轴有且仅有一个交点．
又∵f'（x）=3x（ax-2）
①当a=0时，代入原方程知此时仅有一个正数解，满足要求；
②当a＞0时，则得f（x）在（-∞，0）和（，+∞）上单调递增，在（0，）上单调递减，
f（0）=1，知若要满足条件只有x=时，f（x）取到极小值0，
x=代入原方程得到正数解a=2，满足要求；
③当a＜0时，ax3=3x2-1，函数y=ax3  与y=3x2-1在x＞0时只有一个交点，满足题意，
综上：a≤0或a=2．
故答案为：{a|a=2或a≤0}