Question

如图三棱锥P-ABC，已知PC⊥平面ABC，CD⊥面PAB，BA=BC，PC=AC=2．
（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成的角的大小；
（Ⅱ）求二面角C-PA-B的余弦值．

Answer

（Ⅰ）先根据PC⊥平面ABC，CD⊥面PAB，BA=BC，PC=AC=2求出BC，再建立空间直角坐标系求出个对应点的坐标；进而求出，的坐标，最后直接代入两向量夹角的计算公式即可；（Ⅱ）先根据条件求出平面PAB的法向量以及平面PAC的法向量的坐标，最后计算出其数量积进而求出二面角C-PA-B的余弦值
【解析】
（Ⅰ）∵PC⊥平面ABC，∴PC⊥AB．
又∵CD⊥面PAB，
∴CD⊥AB．PC∩PD=P，
∴AB⊥面PCB．∴AB⊥BC．…（2分）
∵PC=AC=2，∴．
以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，．．．
设AP与BC所成的角为θ，
∴异面直线AP与BC所成的角为．…（6分）
（Ⅱ）设平面PAB的法向量为．
∴
令z=-1，∴．…（8分）
设平面PAC的法向量为．
∴
令a=1，∴n=（1，1，0）．…（10分）
∴…（11分）
∴二面角C-PA-B大小的余弦值为．…（12分）