Question

已知圆x²+y²=4上任意一点G在y轴上的射影为H，点M满足条件，P为圆外任意一点．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若过点的直线l与轨迹C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两个不同点，已知向量，，若m•n=0，求直线AB的斜率k的值．

Answer

（Ⅰ）设M（x，y），G（x，y），H（0，y），由为HG的中点，知．由点G（x，y）在圆x2+y2=4上，知（2x）2+y2=4，点 此能M 轨同迹C的方程．
（Ⅱ）设AB的方程为．联立，再由韦达定理结合题设条件能够求出直线AB的斜率k的值．
【解析】
（Ⅰ）由题意知，设M（x，y），G（x，y），
则H（0，y），
∵为HG的中点，
∴．…（3分）
∵点G（x，y）在圆x2+y2=4上，
∴（2x）2+y2=4，
∴点M轨迹C的方程为．                          …（6分）
（Ⅱ）由题意，设AB的方程为．
联立，
∴．…（8分）
由已知
=．
由，
解得．      …（12分）