Question

已知函数，数列{a_n}满足：a_n＞0，a₁=1，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；（Ⅱ）若，对任意正整数n，不等式恒成立，求正数k的取值范围．
（Ⅲ）求证：．

Answer

（Ⅰ）根据an+1=f（an）得，则数列是以1为首项，1为公差的等差数列，可求数列是的通项，从而求出所求；
（Ⅱ）根据，将k分离出来得，记，根据＞1得到g（n）在n∈N*上递增，可求出正数k的取值范围．
（Ⅲ）根据，代入可得结论．
（Ⅰ）【解析】
由题意an+1=f（an）⇔，
∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列．           …（2分）
∴，即．                                 …（4分）
（Ⅱ）证明：由，

即…（6分）
记
则=，
∴g（n+1）＞g（n），即g（n）在n∈N*上递增，
，∴．…（8分）
（Ⅲ）证明：∵
∴
=．            …（12分）