Question

设动圆P过点A（-1，0），且与圆B：x²+y²-2x-7=0相切．
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹Ω的方程；
（Ⅱ）设点Q（m，n）在曲线Ω上，求证：直线l：mx+2ny=2与曲线Ω有唯一的公共点；
（Ⅲ）设（Ⅱ）中的直线l与圆B交于点E，F，求证：满足的点R必在圆B上．

Answer

（Ⅰ）由点A在圆B内，知动圆P与圆B（x-1）2+y2=8内切，由圆B的圆心是B（1，0），半径，知，由此能求出动圆圆心P的轨迹Ω的方程．
（Ⅱ）由点Q（m，n）在曲线Ω上可知：m2+2n2=2．联立直线l与曲线Ω的方程，得x2-2mx+m2=0，由此能导出直线l与曲线Ω有唯一的公共点．
（Ⅲ）设点E，F的坐标分别为E（x1，y1），F（x2，y2），由题意知x1，x2是由直线l与圆B所得的方程组整理出的方程（m2+4n2）x2-4（m+2n2）x+4-28n2=0的两个不同的实根，再由韦达定理求得，故点R在圆B上．
【解析】
（Ⅰ）∵点A在圆B内，
∴动圆P与圆B（x-1）2+y2=8内切，
∵圆B的圆心是B（1，0），半径，
∴，
即PA+PB=，
由椭圆定义知动圆圆心P的轨迹Ω的方程为．
（Ⅱ）由点Q（m，n）在曲线Ω上可知：，即m2+2n2=2．
又联立直线l与曲线Ω的方程，
得（2m2+4n2）x2-8mx+8-8n2=0，
即x2-2mx+m2=0，
∵x2-2mx+m2=0的两实根相等，
∴直线l与曲线Ω有唯一的公共点．
（Ⅲ）设点E，F的坐标分别为E（x1，y1），F（x2，y2），
则由题意知x1，x2是由直线l与圆B所得的方程组
所得方程（m2+4n2）x2-4（m+2n2）x+4-28n2=0的两个不同的实根，
∴，
∵mx1+2ny1=2，mx2+2ny2=2，
∴==．
∴
=
=
=8，
∴，
故点R在圆B上．