Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有．
（1）判断函数f（x）在[-1，1]上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；
（2）解不等式：；
（3）若f（x）≤m²-2pm+1对所有x∈[-1，1]，p∈[-1，1]（p是常数）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）先判断单调性，设-1≤x1＜x2≤1，再利用函数的奇偶性和已知的条件得到＞0，由x2-x1＞0，得f（x2）+f（-x1）＞0，即f（x1）＜f（x2），由函数的单调性的定义得到f （x） 在[-1，1]上是增函数．
（2）不等式等价于，解此不等式组求出它的解集．
（3）由（1）知f（x）max=f（1）=1，要f（x）≤m2-2pm+1对任意x∈[-1，1]恒成立，只需1≤m2-2pm+1对
p∈[-1，1]恒成立，设g（p）=m2-2mp，有 ，解不等式组求得m的取值范围．
【解析】
（1）函数f（x）在[-1，1]上是增函数．
设-1≤x1＜x2≤1，
∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，∴f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）．
又x1＜x2，∴x2+（-x1）≠0，由题设有＞0，
∵x2+（-x1）=x2-x1＞0，∴f（x2）+f（-x1）＞0，即f（x1）＜f（x2），
所以函数f （x） 在[-1，1]上是增函数．（4分）
（2）不等式⇔，
解得≤x＜-1．（8分）
（3）由（1）知f（x）max=f（1）=1，∴f（x）≤m2-2pm+1对任意x∈[-1，1]恒成立，
只需1≤m2-2pm+1对p∈[-1，1]恒成立，即 m2-2pm≥0对p∈[-1，1]恒成立
设g（p）=m2-2mp，则．
解得 m≤-2或m≥2或m=0，
∴m的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）∪{0}．（12分）