Question

设过点的椭圆的两焦点为F₁（-1，0）和F₂（1，0）．M为椭圆上的一个动点，以M为圆心，MF₂为半径作⊙M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若⊙M与y轴有两个交点，求点M横坐标的取值范围；
（Ⅲ）是否存在定⊙N，使⊙M与⊙N总内切？若存在，求⊙N的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）由2a=|PF1|+|PF2|=4，知a=2．由两焦点为两焦点为F1（-1，0）和F2（1，0），能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设M（x，y），则⊙M半径，圆心M到y轴的距离d=|x|，⊙M与y轴有两个交点，能求出点M横坐标的取值范围．
（Ⅲ）存在⊙N：（x+1）2+y2=16与⊙M总内切，圆心N为椭圆的左焦点F1，由椭圆的定义知，|MF1|+|MF2|=4，由此能导出两圆相内切．
【解析】
（Ⅰ）∵2a=|PF1|+|PF2|=+=4，
∴a=2．
∵两焦点为F1（-1，0）和F2（1，0），
∴b2=a2-c2=4-1=3，
∴椭圆C的方程为．
（Ⅱ）设M（x，y），则⊙M半径，
圆心M到y轴的距离d=|x|，
由，
得，
∴，
∵-2≤x≤2，
∴．
（Ⅲ）存在⊙N：（x+1）2+y2=16与⊙M总内切，
圆心N为椭圆的左焦点F1，
由椭圆的定义知，|MF1|+|MF2|=4，
∴|MF1|=4-|MF2|，
∴两圆相内切．