Question

等差数列{a_n}中，a₁＞0，且3a₈=5a₁₃，则{S_n}中最大项为    ．

Answer

设等差数列的公差为d，根据等差数列的性质得出a8与a13的关系，再由已知的3a8=5a13，联立用d表示出a8，利用等差数列的通项公式化简后，用d表示出a1，利用等差数列的求和公式表示出Sn，将表示出的a1代入，整理后，得到等差数列的Sn为关于n的二次函数，根据a1大于0，得到d小于0，可得此函数图象为开口向下的抛物线，函数有最大值，从而利用二次函数求最值的方法即可得出Sn的最大值，即为{Sn}中的最大项．
【解析】
根据等差数列的性质得：a13=a8+5d①（d为公差），
又3a8=5a13，即a13=a8②，
把②代入①得：a8=-12.5d，
又a8=a1+7d，
∴a1+7d=-12.5d，
∴a1=-19.5d，
由等差数列的求和公式得：Sn=na1+，
将a1=-19.5d代入整理得：Sn=0.5dn2-20dn，
∵a1＞0，∴d＜0，
∴等差数列的Sn为二次函数，依题意是开口向下的抛物线，
∴当n=-=20时，Sn最大，最大值为S20，
则{Sn}中最大项为S20．
故答案为：S20