Question

已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，D是底面三角形内一点，且∠DPA=45°，∠DPB=60°，则∠DPC=    ．

Answer

构造一个以PD为体对角线的长方体，在这个几何体中设PA=1，在直角三角形中由∠DPA=45°，∠DPB=60°求出体对角线长和面对角线CD的长，即可得所求角
【解析】
过点D作平面垂直于PA，交PA于A点，交平面PAC于AE，交平面PAB于AM
过点D作平面垂直于PB，交PB于B点，交平面PBC于BF，交平面PAB于BM
过点D作平面垂直于PC，交PC于C点，交平面PAC于EC，交平面PBC于FC
则六面体APBM-ECFD是一个长方体
设PA=1，∵∠DPA=45°，∴PD=
∵∠DPB=60°∴PB=，∴PM==
在直角三角形PCD中，CD=PM=，PD=
∴sin∠DPC=
∴∠DPC=60°
故答案为60°