Question

如图，在棱长AB=AD=2，AA₁=3的长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是平面BCC₁B₁内动点，点F是CD的中点．
（Ⅰ）试确定E的位置，使D₁E⊥平面AB₁F；
（Ⅱ）求平面AB₁F与平面ABB₁A₁所成的锐二面角的大小．

Answer

（Ⅰ）以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设E（2，y，z）利用空间向量方法
将D1E⊥平面AB1F转化为，进行代数运算，解出y，z．确定出E位置．
（Ⅱ）方法一：当D1E⊥平面AB1F时，平面AB1F的法向量为，又是平面A1AB1的法向量，利用两法向量夹角求出平面AB1F与平面ABB1A1所成的锐二面角的大小．
法二：取AB的中点G，可证：FG⊥平面ABB1A1，过点G作GH⊥AB1于H点，连接FH，则FH⊥AB1，所以∠GHF为所求二面角的平面角，在△GHF中求解即可．
【解析】
（Ⅰ）以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），F（1，2，0），B1（2，0，3），D1（0，2，3），
设E（2，y，z），则，．（4分）
由D1E⊥平面AB1F∴
∴E（2，1，） 为所求．  …（6分）
（Ⅱ）方法一：当D1E⊥平面AB1F时，=，
又是平面A1AB1的法向量，
且．（8分）．
∴面AB1F与平面ABB1A1所成的锐二面角的大小．（12分）
方法二：取AB的中点G，可证：FG⊥平面ABB1A1，
过点G作GH⊥AB1于H点，连接FH，则FH⊥AB1，
所以∠GHF为所求二面角的平面角．…（9分）
在△GHF中，FG=2，FH．
∴面AB1F与平面ABB1A1所成的锐二面角的大小．（12分）