Question

已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=8时，若对于∀x₁∈[1，4]，∃x₂∈R，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，求实数k的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求出函数的定义域，函数的导数，通过a≤0，a＞0分别判断导数的符号，即可求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）对于∀x1∈[1，4]，总∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成转化为f（x）min≥g（x）min根据（Ⅰ）的结论，当a=8时，f（x）min=f（2）
设ex+e-x=t，设ϕ（t）=g（x），判断是单调递增函数，g（x）min=ϕ（t）min，求出实数k的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），．（1分）
当a≤0时，显然f′（x）＞0，此时f（x）的单调增区间为（0，+∞）．（3分）
当a＞0时，f′（x）=0得解为（舍去），．
所以f（x）的单调减区间为 ，
单调增区间为．（5分）
（Ⅱ）对于∀x1∈[1，4]，总∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立⇔f（x）min≥g（x）min．（7分）
根据（Ⅰ）的结论，当a=8时，f′（x）=0，得x=2．

       x     1     （1，2）                                 2     （2，4）     4
f′（x） - +
f（x） 9 单调递减 f（x）极小值=6+2ln2 单调递增 6+2ln4

在x∈[1，4]上f（x）min=f（2）=6+2ln2．（9分）
设ex+e-x=t，则e2x+e-2x=t2-2，
设ϕ（t）=g（x）=t2+t+k-2（t≥2），是单调递增函数，
所以g（x）min=ϕ（t）min=g（2）=4+k．（11分）
故4+k≤6+2ln2，得k≤2+2ln2．（12分）