Question

斜率为k（k＞0）的直线l过定点P（0，m）（m＞0），与抛物线x²=2py（p＞0）交于A，B两点，且A，B两点到y轴距离之差为4k．
（Ⅰ）求抛物线方程；
（Ⅱ）若此抛物线焦点为F，且有|AF|+|BF|=4k²+4，试求m的值；
（Ⅲ）过抛物线准线上任意一点Q作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，试探究直线MN是否过定点，若过定点，求出定点的坐标．

Answer

（Ⅰ）设AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得x2-2pkx-2pm=0，利用韦达定理能求出p，从而求出抛物线方程．
（Ⅱ）因为|AF|+|BF|=y1+y2+p，由此能求出m的值．
（Ⅲ）设M，N，Q（x，-1），由，知x12-2x1x+4y=0．由此能推导出直线MN过点（0，1）．
【解析】
（Ⅰ）设AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）
则由，可得x2-2pkx-2pm=0．（2分）
∴x1+x2=2pk，
又依题意有|x1+x2|=4k=2pk，
∴p=2．
∴抛物线方程为x2=4y．（4分）
（Ⅱ）∵|AF|+|BF|=y1+y2+p
=k（x1+x2）+2m+2
=4k2+2m+2
=4k2+4，
∴m=1．（6分）
（Ⅲ）设M，N，Q（x，-1），
∵，
∴MQ的方程为，
∴x12-2x1x+4y=0．（8分）
∵MQ过Q，∴x12-2x1x-4=0，
同理x22-2x2x-4=0，
∴x1，x2为方程x2-2xx-4=0的两个根，
∴x1x2=-4．（10分）
又，
∴MN的方程为
∴，
所以直线MN过点（0，1）．（12分）