Question

下列函数中，在（0，）上有零点的函数是（ ）
A．f（x）=sinx-
B．f（x）=sinx-
C．f（x）=sin²x-
D．f（x）=sin²x-

Answer

对选项中的函数分别进行求导，研究它们的极值和单调性进行分析，对于A：求导，由导数的符号知f（x）在（0，）上单调递减，且f（0）=0，故该函数在（0，）上无零点，故错；对于B：求导，令导数等于零，求出该函数的极值点x1，分析函数的单调性f（x）在（0，x1）上单调递增，在（）上单调递减，对于C：求导，由导数的符号知f（x）在（0，）上单调递减，且f（0）=0，故该函数在（0，）上无零点，故错；对于D：求导，求得函数的极值点，分析函数的单调性，可知该选项正确．
【解析】
对于A：f'（x）=cosx-1＜0，x∈（0，）
∴f（x）在（0，）上单调递减，且f（0）=0，故该函数在（0，）上无零点，故错；
对于B：令f′（x）=cosx-=0，得x1=arccos，
当0＜x＜x1时，f′（x）＞0，当时，f′（x）＜0，
因此f（x）在（0，x1）上单调递增，在（）上单调递减，
而f（0）=0，f（）=0，故该函数在（0，）上无零点，故错；
对于C：f′（x）=2sinxcosx-1=sin2x-1≤0，x∈（0，）
∴f（x）在（0，）上单调递减，且f（0）=0，故该函数在（0，）上无零点，故错；
对于D：令f′（x）=2sinxcosx-=sin2x-=0，得x1=arcsin，或x2=π-arcsin，
当0＜x＜x1时，f′（x）＜0，当x1＜x＜x2时，f′（x）＞0，当时，f′（x）＜0，
因此f（x）在（0，x1）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增，在（）上单调递减，
而f（0）=0，f（）=0，故该函数在（0，）上有零点，故正确；
故选D．