Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3．点E在棱PA上，且PE=2EA．
（1）求证：PC∥平面EBD；
（2）求二面角A-BE-D的正弦值的大小．

Answer

（1）连接AC，BD，交点为G．由△CBG∽△ADG，且CB=2AD．知CG=2AG，在三角形PCA中，PE=2AE，CG=2AG．故EG‖PC．由此能够证明PC‖平面EBD．
（2）以B为原点，BA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．则，，，由题得向量=（0，3，0）是平面ABE的一个法向量．设向量=（x，y，z）是平面BDE的一个法向量，由，知，故=（1，1，-2），由向量法能够求出二面角A-BE-D的正弦值．
【解析】
（1）连接AC，BD，交点为G．
∵AD∥BC，
∴△CBG∽△ADG，且CB=2AD．
∴CG=2AG，
在三角形PCA中，PE=2AE，CG=2AG．
∴EG‖PC．
∵EG在平面EBD内，
∴PC‖平面EBD．
（2）以B为原点，BA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．
∵PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，
∴A（3，0，0，0），D（3，-3，0），B（0，0，0），E（2，1，0），
∴，，，
由题得向量=（0，3，0）是平面ABE的一个法向量．
设向量=（x，y，z）是平面BDE的一个法向量，
∵，
∴，令x=1，得=（1，1，-2），
设二面角A-BE-D的平面角是θ，
则cosθ=|cos＜，＞|
=||=．
∴二面角A-BE-D的正弦值sinθ==．