Question

已知椭圆C：，过点P（4，0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，设点A关于x轴的对称点为A₁
（1）求证：直线A₁B过x轴上一定点，并求出此定点坐标；
（2）求△OA₁B面积的取值范围．

Answer

（I）设直线方程为l：x=my+4，与，联立并消去x得：（3m2+4）y2+24my+36=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，，由A关于x轴的对称点为A1，得A1（x1，-y1），由此能证明直线A1B过x轴上一定点，并能求出此定点坐标．
（II）由（3m2+4）y2+24my+36=0中，判别式△＞0，解得m＞2或m＜-2，而直线A1B过定点Q（1，0），由此能求出△OA1B面积的取值范围．
【解析】
（I）设直线方程为l：x=my+4，
与联立并消去x得：（3m2+4）y2+24my+36=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则有，，
由A关于x轴的对称点为A1，
得A1（x1，-y1），
根据题意设直线A1B与x轴相交于点Q（t，0），
得，
即，
整理得，，
代入得t=1，
则定点为Q（1，0）
（II）设直线方程为l：x=my+4，
与联立并消去x得：（3m2+4）y2+24my+36=0，
△=（24m）2-4×36×（3m2+4）＞0，
解得m＞2或m＜-2，
而直线A1B过定点Q（1，0）
所以=•-yB|

=
=，
记t=|m|，，
∴f（t）在（2，+∞）上是单调递减函数，
∴．