Question

一个半径为2的球放在桌面上，桌面上的一点A₁的正上方有一个光源A，AA₁与球相切，AA₁=6，球在桌面上的投影是一个椭圆，则这个椭圆的离心率等于（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer

根据题意作出过圆锥的轴与椭圆长轴AA1的截面，可得直角三角形AOA1，在此三角形中利用切线长定理，利用三角形的面积等式求出A1A2，再根据椭圆的几何性质，求出椭圆的参数a、c，即可求出椭圆的离心率．
【解析】
如图是过圆锥的轴与椭圆长轴A1A2的截面，根据圆锥曲线的定义，
可得球与长轴A1A2的切点是椭圆的焦点F，AA1⊥A1A2
设光线AA1与球相切于点E，AA2与球相切于点D，
且AF等于内切圆的半径也即球的半径，即A1E=A1F=2，
AA1=6，
根据切线长定理得：A1E=A1F=2，AE=AD=AA1-A1E=4，
设FA2=x，由三角形面积公式得：
（AA1+A1A2+AA2）r=AA1•AA2
∴（2+x+6+4+x）=×6×（2+x），
⇒x=6，
∴A1A2=8
根据椭圆的几何性质，得长轴A1A2=2a=8，⇒a=4，
AF是焦点到长轴顶点的距离AF=a-c=2
∴c=2，
∴
所以所求椭圆的离心率为
故选A．