Question

设函数f（x）=ax³-2bx²+cx+4d，（a，b，c，d∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值．
（Ⅰ）求a，b，c，d的值；
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；
（Ⅲ）若x₁，x₂∈[-1，1]，求证：．

Answer

（1）根据奇偶性判断bd的值，再有在1处的极值求出a．
（2）用假设法证明，假设存在两点，在得出结果与假设矛盾．
（3）函数在1和-1处取代极值，判断其为最值，根据两最值之差最大，证明问题．
（I）【解析】
因为图象关于原点对称，所以f（x）为奇函数，所以b=0，d=0
所以f（x）=ax3+cx，因此f'（x）=3ax2+c
由题意得，
解得
（II）不存在．
证明：假设存在x1，x2，则f'（x1）•f'（x2）=-1
所以（x12-1）（x22-1）=-4
因为x1，x2∈[-1，1]所以x12-1，x22-1∈[-1，0]
因此（x12-1）（x22-1）≠-4
所以不存在．
（III）证明：
由=0得x=±1
所以