Question

已知函数f（x）=x³+（a-1）x²+3x+b的图象与x轴有三个不同交点，且交点的横坐标分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率，则实数a的取值范围是    ．

Answer

先把函数f（x）=x3+（a-1）x2+3x+b的图象与x轴有三个不同交点转化为方程x3+（a-1）x2+3x+b=0有三个不等实根．再根据1是方程的根代入求出b和a之间的关系式；代入原方程分解因式，最后转化为x2+a（x+1）+3=0有两个根，且一个根在（0，1）上，另一根在（1，+∞）上，再借助于图象求出实数a的取值范围即可．
【解析】
函数f（x）=x3+（a-1）x2+3x+b的图象与x轴有三个不同交点，即是方程x3+（a-1）x2+3x+b=0有三个不等实根．
由题得1是方程的根，故有1+（a-1）+3+b=0⇒b=-a-3⇒x3+（a-1）x2+3x+b=x3+（a-1）x2+3x-a-3=（x-1）[x2+a（x+1）+3]=0．
因为交点的横坐标分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率
故方程g（x）=x2+a（x+1）+3=0有两个根，且一个根在（0，1）上，另一根在（1，+∞）上，
由图得，
有g（0）＞0且g（1）＜0⇒a＞-3且a＜-2，
故满足要求的实数a的取值范围是（-3，-2）．
故答案为：（-3，-2）．