Question

若正数数列{a_n}满足，其中S_n是数列{a_n}的前n项和．
（1）求S_n；
（2）若，是否存在b_k=b_m（k≠m）？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，说明理由．

Answer

（1）令n=1，及an＞0，可求a1，由可得，即Sn2-Sn-12=1，则可得{Sn2}是以1首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的通项可求Sn2，进而可求Sn
（2）由（1）可得，要判断k≠m是否存在bk=bm，考虑函数（x≥1）的单调性，结合导数的知识可求
【解析】
（1）令n=1，又an＞0，得a1=1．
∵，即
∴Sn2-Sn-12=1，S12=a12=1
∴{Sn2}是以1为首项，以1为公差的等差数列
∴Sn2=S12+（n-1）•1=1+n-1=n
∴．
（2），则考虑函数（x≥1），则．
令h（x）=x+1+xlnx（x≥1），则h'（x）=-lnx≤0，∴h（x）在[1，+∞）递减
∵h（1）=2＞0，h（2）=3-2ln2＞0，h（3）=4-3ln3＞0，h（4）=5-4ln4＜0
∴x≥4时，h（x）≤h（4）＜0，则g'（x）＜0，g（x）在[4，+∞）递减；
1≤x≤3时，h（x）≥h（3）＞0，则g'（x）＞0，g（x）在[1，3]递增．
∴g（1）＜g（2）＜g（3），g（4）＞g（5）＞g（6）＞…
即lnb1＜lnb2＜lnb3，lnb4＞lnb5＞lnb6＞…
∴b1＜b2＜b3，b4＞b5＞b6＞…
∵
∴b1＜b2＜b3＜b4＞b5＞b6＞…
又b1=1，当n≠1时，bn＞1．
∴若存在两项相等，只可能是b2、b3与后面的项相等
又，∴b2=b8
∵，∴数列bn中存在唯一相等的两项b2=b8