Question

已知f_n（x）=（1+x）ⁿ．
（1）若f₁₁（x）=a+a₁x+a₂x²+…+a₁₁x¹¹，求a₁+a₃+…+a₁₁的值；
（2）若g（x）=f₆（x）+2f₇（x）+3f₈（x），求g（x）中含x⁶项的系数；
（3）证明：．

Answer

（1）考察（1+x）11（1-x）11展开式的项的项的关系，两式相减后再令x=1，可求．
（2）由于g（x）是由三个二项式的和组成；利用二项展开式的通项公式求出三个二项式中x6的系数，求它们的和．
（3）构造函数h（x）；待证等式的左边即为h（x）展开式含xm的系数和；通过数列的求和方法：错位相减法求出h（x）；求出h（x）的展开式含xm项的系数；利用组合数公式化简，恒等式得证．
【解析】
（1）f11（x）=（1+x）11=a+a1x+a2x2+…+a11x11，①
考察（1-x）11展开式的项，与①式奇数项相同，偶数项互为相反数．
∴（1+x）11-（1-x）11=2（a1x+a3x3+…+2a11x11），
令x=1得 a1+a3+…+a11==1024．
 （2）fn（x）=（1+x）n．展开式中含x6项为T7=Cn6x6，系数为Cn6．
g（x）中含x6项的系数等于C66+2C76+3C86=99．
证明：（3）设h（x）=（1+x）m+2（1+x）m+1+…+n（1+x）m+n-1（1）
则函数h（x）中含xm项的系数为Cmm+2×Cm+1m+…+nCm+n-1m
（1+x）h（x）=（1+x）m+1+2（1+x）m+2+…+n（1+x）m+n （2）
（1）-（2）得-xh（x）=（1+x）m+（1+x）m+1+（1+x）m+2+…+（1+x）m+n-1-n（1+x）m+n
x2h（x）=（1+x）m-（1+x）m+n+nx（1+x）m+n
h（x）中含xm项的系数，即是等式左边含xm+2项的系数，
等式右边含xm+2项的系数为-Cm+nm+2+nCm+nm+1

=
所以Cmm+2×Cm+1m+…+nCm+n-1m=