Question

已知f（x）=（1+x）^α（1+）^β（α，β，x∈R⁺），
（1）求f（x）的最小值；
（2）如果y＞0，求证：（）^α+β≤（）^α•（）^β；
（3）如果α₁，α₂，…α_n，β₁，β₂，…β_n＞0，求证：（）^{α1+α2+…+αn}≤（）^α1•（）^α2…（）^αn．

Answer

（1）先求导函数得f′（x）=，从而可知x∈（，+∞）时f′（x）＞0，x∈（0，）时，f′（x）＜0．故可求f（x）的最小值；
（2）根据f（）≤f（），可得（）α•（）β≤（）α•（）β，从而得证；
（3）利用数学归纳法证明，当n=2时，由（2）可知（）α1+α2≤（）α1•（）α2，假设n=k时，成立，即（）α1+α2+…+αn≤（）α1•（）α2…（）αn，再证明当n=k+1时也，成立．
（1）【解析】
f′（x）=α（1+x）α-1（1+）β+（1+x）α•β（1+）β-1•（-1）•=，
∵x∈（，∞）时f′（x）＞0，x∈（0，）时，f′（x）＜0．
∴f（x）max=f（）=（）α（）β．
（2）证：∵f（）≤f（），∴（）α•（）β≤（）α•（）β，
即（）α+β≤（）α•（）β．
（3）当n=2时，由（2）可知（）α1+α2≤（）α1•（）α2，
设n=k时，（）α1+α2+…+αn≤（）α1•（）α2…（）αn，
当n=k+1时，（）α1+α2+…+αn+αn+1
=[]（α1+α2+…+αn）+αn+1
≤（）α1+α2+…+αn•（）αn+1
≤（）α1•（）α2…（）αn•（）αn+1．
所以，结论对一切n成立．