Question

已知函数f（x）=3^x-1的反函数y=f^-1（x），g（x）=log₉（3x+1）
（Ⅰ）求不等式f^-1（x）≤g（x）的解集D；
（Ⅱ）设函数，当x∈D时，求H（x）的值域．

Answer

（Ⅰ）根据原函数f（x）的表达式将x、y进行互换，解出用y表示x的式子，从而得出反函数f-1（x）的表达式，将此表达式代入题中的不等式：f-1（x）≤g（x），根据对数函数的单调性求出自变量x的取值范围；
（Ⅱ）利用对数的运算法则，将函数转化为的形式，再讨论其内层函数的值域，最后根据对数函数y=log9x的单调性，得出函数H（x）的值域．
【解析】
（Ⅰ）由原函数，令x=3y-1，得y=log3（x+1）
故函数数的反函数为y=f-1（x）=log3（x+1），
不等式f-1（x）≤g（x）化为：log3（x+1）≤log9（3x+1）
即：log9（x+1）2≤log9（3x+1）
所以有0＜（x+1）2≤3x+1且x＞-1
解这个不等式组，得0≤x≤1
∴不等式f-1（x）≤g（x）的解集D=[0，1]
（Ⅱ）=log9=
因为x∈D，所以真数∈[1，2]
可得H（x）的值域为[log91，log92]，
∴H（x）的值域是[0，log92]