Question

已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：
（1）对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；（2）f（1）=1
（3）若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）
（Ⅰ）试求f（0）的值；
（Ⅱ）试求函数f（x）的最大值；
（Ⅲ）试证明：满足上述条件的函数f（x）对一切实数x，都有f（x）≤2x．

Answer

（Ⅰ）直接取x1=1，x2=0利用f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）可得：f（0）≤0，再结合已知条件f（0）≥0即可求得f（0）=0；
（Ⅱ）由0≤x1＜x2≤1，则0＜x2-x1＜1，故有f（x2）=f（x2-x1+x1）≥f（x2-x1）+f（x1）≥f（x1），即f（x）在[0，1]内是增函数，故函数f（x）的最大值为f（1）；
（Ⅲ）①当x∈时，f（x）≤1＜2x；②当x∈时，f（2x）≥f（x）+f（x）=2f（x），，当x∈时，f（x）≤成立．假设当时，有f（k）成立，其中k=1，2，…那么当时，f（x）≤=，故对于任意，存在正整数n，使得，此时；当x=0时，f（0）=0≤2x．所以，满足条件的函数f（x），对x∈[0，1]，总有f（x）≤2x成立．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）
∴f（1+0）≥f（1）+f（0），
∴f（0）≤0，
∵f（0）≥0，
故f（0）=0．
（Ⅱ）因为0≤x1＜x2≤1，则0＜x2-x1＜1，
所以f（x2）=f（x2-x1+x1）≥f（x2-x1）+f（x1）≥f（x1）
故有f（x1）≤f（x2）．
∴f（x）在[0，1]内是增函数，
于是当0≤x≤1时，有f（x）≤f（1）=1
因此，当x=1时，f（x）有最大值为1；
（Ⅲ）证明：研究①当x∈时，f（x）≤1＜2x．
②当x∈时，
首先，f（2x）≥f（x）+f（x）=2f（x），
∴，
显然，当x∈时，
f（x）≤成立．
假设当时，有f（k）成立，其中k=1，2，…
那么当时，
f（x）≤=，
可知对于，总有，其中n=1，2，…
而对于任意，存在正整数n，使得，
此时．…11分
③当x=0时，f（0）=0≤2x…12分
综上可知，满足条件的函数f（x），对x∈[0，1]，总有f（x）≤2x成立．