Question

设曲线C的方程是y=x³-x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C₁．
（1）写出曲线C₁的方程；
（2）证明曲线C与C₁关于点A（，）对称；
（3）如果曲线C与C₁有且仅有一个公共点，证明s=-t且t≠0．

Answer

（1）将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后，x变为x-t，y变为y-s，
（2）在曲线C上任取一点B1（x1，y1），利用中点公式求出它关于点A的对称点B2，证明点B2在曲线C1上，同样证明，
在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上．
（3）曲线C与C1有且仅有一个公共点，即方程组有唯一解，对应的一元二次方程的判别式等于0，
（1）【解析】
曲线C1的方程为 y=（x-t）3-（x-t）+s．
（2）证明：在曲线C上任取一点B1（x1，y1）．设B2（x2，y2）是B1关于点A的对称点，
则有，，所以x1=t-x2，y1=s-y2．
代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程：
s-y2=（t-x2）3-（t-x2），即y2=（x2-t）3-（x2-t）+s，可知点B2（x2，y2）在曲线C1上．
反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上．
因此，曲线C与C1关于点A对称．
（3）证明：因为曲线C与C1有且仅有一个公共点，所以，方程组有且仅有一组解．
消去y，整理得 3tx2-3t2x+（t3-t-s）=0，这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根．
所以t≠0并且其根的判别式△=9t4-12t（t3-t-s）=0，即
所以且t≠0．