Question

已知偶函数f（x）=cosθsinx-sin（x-θ）+（tanθ-2）sinx-sinθ的最小值是0，求f（x）的最大值及此时x的集合．

Answer

把f（x）利用两角差的正弦函数公式化简后根据函数是偶函数即f（-x）=f（x）得到tanθ=2，则f（x）=sinθ（cosx-1），然后根据同角三角函数间的基本关系求出sinθ和cosθ，把sinθ的两个值代入到f（x）中，根据f（x）的最小值为0舍去一个，得到f（x）的解析式为f（x）=（cosx-1），f（x）取最大值时cosx取-1，根据余弦函数的图象即可得到x取值范围．
【解析】
f（x）=cosθsinx-（sinxcosθ-cosxsinθ）+（tanθ-2）sinx-sinθ
=sinθcosx+（tanθ-2）sinx-sinθ
因为f（x）是偶函数，所以对任意x∈R，都有f（-x）=f（x），
即sinθcos（-x）+（tanθ-2）sin（-x）-sinθ=sinθcosx+（tanθ-2）sinx-sinθ，
即（tanθ-2）sinx=0，所以tanθ=2
由解得或，此时，f（x）=sinθ（cosx-1）．
当sinθ=时，f（x）=（cosx-1）最大值为0，不合题意最小值为0，舍去；
当sinθ=时，f（x）=（cosx-1）最小值为0，
当cosx=-1时，f（x）有最大值为，自变量x的集合为{x|x=2kπ+π，k∈Z}．