Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=a，E是PB的中点．
（I）求异面直线PD、AE所成的角；
（II）在平面PAD内求一点F，使得EF⊥平面PBC；
（III）求二面角F-PC-E的大小．

Answer

（I）先建立空间直角坐标系，求出个对应点的坐标，以及，的坐标，最后代入向量的数量积计算公式即可；
（II）先设出点F的坐标，进而求出直线EF，BC，PC的方向向量，由向量数量积为0，求出点F的坐标，判断出点F的位置，即可得到答案．
（III）先根据PD⊥平面ABCD，得到CD是PC在平面ABCD上的射影．进而得PC⊥BC；再取PC的中点G，连接EG，则EG∥BC，进而得EG⊥PC，通过分析得∠FGE为二面角F-PC-E的平面角，最后在三角形FGE中求出∠FGE；即可得到平面PCF与平面PCE的夹角的余弦值，进而求出结论．
【解析】
（I）建立如图所示的空间直角坐标系，
则A （a，0，0），B（a，a，0），
C（0，a，0），P（0，0，a）．
∴，．
∴．
又∵，
∴．
故异面直线AE、DP所成角为．                    （5分）
（II）∵F∈平面PAD，故设F（x，0，z），则有．
∵EF⊥平面PBC，∴且．
∴
又∵，
∴
从而
∴，取AD的中点即为F点．                （4分）
（III）∵PD⊥平面ABCD，
∴CD是PC在平面ABCD上的射影．
又∵CD⊥BC，由三垂线定理，有PC⊥BC．
取PC的中点G，连接EG，则EG∥BC．
∴EG⊥PC．
连接FG．
∵EF⊥平面PBC，EG是FG在平面PBC上的射影，且PC⊥EG，
∴FG⊥PC．
∴∠FGE为二面角F-PC-E的平面角．∵，
∴．
∴．
∴二面角F-PC-E的大小为．                         （5分）