Question

若向量，，k，t为正实数．且=+，，
（1）若，求k的最大值；
（2）是否存在k，t，使？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

先根据向量的计算公式求出；
（1）直接代入向量垂直的结论：，，⇒x1x2+y1y2=0．即可求出k和t之间的关系，进而求出k的最大值；
（2）直接代入向量共线的结论：，，⇒x1y2-x2y1=0．即可求出k和t之间的关系，再结合原题中k，t为正实数即可求出结论．
【解析】
由已知可得=（1，2）+（t2+1）（-2，1）=（-2t2-1，t2+3），
=-（1，2）+（-2，1）
=（-，-）
（1）若，则，即（-2t2-1）（-）+（t2+3）（-）=0，
整理得，k==≤=，（4分）
当且仅当t=，即t=1时取等号，
∴kmax=．（7分）
（2）假设存在正实数k，t，使，
则（-2t2-1）（-）-（t2+3）（-）=0．
化简得+=0，即t3+t+k=0．（11分）
又∵k，t是正实数，故满足上式的k，t不存在，
∴不存在k，t，使．（14分）