Question

设数列{a_n}满足，令．
（1）试判断数列{b_n}是否为等差数列？并求数列{b_n}的通项公式；
（2）令，是否存在实数a，使得不等式对一切n∈N^*都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）比较与的大小．

Answer

（1）利用已知配凑出4an+1+1、4an+1即bn+1、bn的形式，然后根据等差数列的定义求解；
（2）构造数列cn=，在（1）的基础上，求出cn表达式，利用cn的单调性求出cn的最大值，从而转化为不等式求解问题，进而完成对a的探索．
（3）构造函数，利用函数的单调性分n≤2和n≥3两种情况探索．
【解析】
（1）由已知得，
即，（2分）
所以bn+12=bn2+2bn+1，即bn+1=bn+1，
又b1=1，所以数列{bn}为等差数列，
通项公式为bn=n（n∈N*）．
（2）令cn=，
由，
得
=
所以，数列{cn}为单调递减数列，（8分）
所以数列{cn}的最大项为，
若不等式对一切n∈N*都成立，只需，
解得，
又a＞0，a≠1，
所以a的取值范围为．（12分）
（3）问题可转化为比较nn+1与（n+1）n的大小．
设函数，所以．
当0＜x＜e时，f'（x）＞0；
当x＞e时，f'（x）＜0．所以f（x）在（0，e）上为增函数；在（e，+∞）上为减函数．
当n=1，2时，显然有nn+1＜（n+1）n，
当n≥3时，f（n）＞f（n+1），即，
所以（n+1）lnn＞nln（n+1），即lnnn+1＞ln（n+1）n，
所以nn+1＞（n+1）n．
综上：当n=1，2时，nn+1＜（n+1）n，即；
当n≥3时，nn+1＞（n+1）n即．（16分）