Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2a_n-n+1（n∈N⁺）．
（1）证明数列{a_n-n}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足：（n∈N⁺），求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）比较S_n与的大小．

Answer

（1）法一：由an+1=2an-n+1，得an+1-（n+1）=2（an-n），又a1=2，则a1-1=1，由此能够证明数列{an-n}是等比数列，并能求出数列{an}的通项公式．
法二：=2，又a1=2，则a1-1=1，由此能够证明数列{an-n}是等比数列，并能求出数列{an}的通项公式．
（2）由，知，故Sn=，由错位相减法能够求出数列{bn}的前n项和Sn．
（3）=，当n=1时，；n=2时，；n≥3时，，由此知n=1或2时，；n≥3时，．
（1）证法一：由an+1=2an-n+1，
得an+1-（n+1）=2（an-n），
又a1=2，则a1-1=1，
∴数列{an-n}是以a1-1=1为首项，且公比为2的等比数列，…（3分）
则，
∴．…（4分）
证法二：
=，
又a1=2，则a1-1=1，
∴数列{an-n}是以a1-1=1为首项，且公比为2的等比数列，…（3分）
则，∴．…（4分）
（2）【解析】
∵，
∴．…（5分）
∴Sn=b1+b2+…+bn
=，…①
∴（n-1），…②
由①-②，得
=
=1-，…（8分）
∴．…（9分）
（3）=2-（n+2）-
=
=，
当n=1时，；
n=2时，；
n≥3时，
＞=2n+1，
∴，
∴．
综上：n=1或2时，；
n≥3时，．…（12分）