Question

已知四棱锥P-ABCD的三视图如右图，该棱锥中，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成角是30°，点F是PB的中点，点E在棱BC上移动．
（I）画出该棱锥的直观图并证明：无论点E在棱BC的何处，总有PE⊥AF；
（II）连接DE，设G为DE上一动点，当三棱锥P-AGE的体积为时，试确定G在DE上的位置．

Answer

（I）根据四棱锥P-ABCD的三视图，及PA=AB=1，PD与平面ABCD所成角是30°我们易画出该棱锥的直观图，结合F是PB的中点，点E在棱BC上移动，我们易根据三角形的性质，分别证明出AF⊥BP，AF⊥BC，进而得到AF与平面PBC垂直，然后根据线面垂直的定义得到结论．
（II）由G为DE上一动点，三棱锥P-AGE的体积为，我们根据棱锥的体积计算公式，我们易计算出底面AGE的面积，进而判断出G在DE上的位置．
【解析】
（I）直观图如下图所示：
在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，
∴∠PDA是PD与底面ABCD所成的角，
∴∠PDA=30°，
又∵BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A
∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥AF
又∵PA=AB=1，F是PB的中点，
∴AF⊥PB，又由BP∩BC=B，
∴AF⊥面PBC
又由PE⊂面PBC
∴AF⊥PE
（II）
又∵PA=AB=1，在RT△PAD中，易得AD=
设A到DE的距离为h，则S△AGE=EG•h
∴==
∴EG•h=
又∵S△AED=AD•AB=ED•h
∴=ED•h
∴
∴2EG=ED
即G是ED的中点．