Question

设函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）（1）若对任意的x∈[0，1]，不等式f（x）-m≤0都成立，求实数m的最小值；（2）求函数g（x）=f（x）-x²-x在区间[0，2]上的极值．

Answer

（1）设f（x）在[0，1]上的最大值是f（x）max，由对任意的x∈[0，1]，不等式f（x）-m≤0都成立，知f（x）max≤m．由导数性质能求出f（x）max=f（1）=4-2ln2，由此能求出实数m的最小值．
（2）由g（x）=f（x）-x2-x=1+x-2ln（1+x），知．所以g（x）在[0，1]上是减函数，在（1，2]上是增函数，由此能求出g（x）在[0，2]上的极小值．
【解析】
（1）设f（x）在[0，1]上的最大值是f（x）max，
∵对任意的x∈[0，1]，不等式f（x）-m≤0都成立，
∴f（x）max≤m．
∵，
当x∈[0，1]时，f′（x）≥0，
故f（x）在[0，1]内为增函数．
∴f（x）max=f（1）=4-2ln2，
∴m≥4-2ln2，
即实数m的最小值是4-2ln2．
（2）∵g（x）=f（x）-x2-x=1+x-2ln（1+x），
∴．
当x＞1时，g′（x）＞0；当-1＜x＜1时，g′（x）＜0，
∴g（x）在[0，1]上是减函数，在（1，2]上是增函数，
∴g（x）在[0，2]上的极小值为g（1）=2-2ln2．