Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B的坐标为（0，1），离心率等于．斜率为1的直线l与椭圆C交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）问椭圆C的右焦点F是否可以为△BMN的重心？若可以，求出直线l的方程；若不可以，请说明理由．

Answer

（1）由题意知b=1，，由此能够导出椭圆C的方程．
（2）假设椭圆C的右焦点F可以为△BMN的重心，设直线l方程为y=x+m，代入椭圆方程，消去y得
3x2+4mx+2m2-2=0，利用三角形的重心公式可求
【解析】
（1）设椭圆C的方程为 ，
则由题意知b=1．∴．
即 ．∴a2=2．
∴椭圆C的方程为 ；
（2）假设椭圆C的右焦点F可以为△BMN的重心，设直线l方程为y=x+m，代入椭圆方程，消去y得
3x2+4mx+2m2-2=0
由△=24-8m2＞0得m2＜3
设M（x1，y1），N（x2，y2），∴
∵F（1，0），∴
∴
∴直线l方程为y=x-